Irrationale Zahlen

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Die Quadratwurzel von 2 hat schon die Griechen fasziniert. Es ist die Zahl, die, mit sich selbst multipliziert, 2 ergibt. Wenn man versucht, diese Zahl auszurechnen, ergibt sich ein unendlicher Dezimalbruch, dessen Stellen sich niemals wiederholen.

 

Man kann eine Strecke mit der Länge dieser Zahl konstruieren. Das bedeutet, dass die Zahl einem Punkt auf der Zahlengerade entspricht.

Wenn man aber versucht, die Zahl als gewöhnlichen Bruch (also mit Zähler und Nenner) zu schreiben, findet man, dass das nicht möglich ist. Man kann sogar relativ leicht beweisen, dass es keinen gewöhlichen Bruch gibt, der der Quadratwurzel aus 2 entspricht.

Auf der Zahlengeraden liegen die Brüche bereits „unendlich“ dicht, d.h., man kann zwischen zwei Brüchen immer noch einen weiteren finden. Trotzdem existiert die Quadratwurzel von 2 sogar noch zwischen diesen „unendlich“ dichten Brüchen. Dies führt uns zu einem Nachdenken über die Bedeutung der Unendlichkeit. 

Gewöhnliche Brüche, also das Verhältnis von einem Zähler zu einem Nenner, nennt man auch „rationale Zahlen“ (lateinisch: ratio, das Verhältnis). Zahlen wie die Quadratwurzel aus 2 nennt man daher irrationale Zahlen. Wie von den Brüchen gibt es von ihnen unendlich viele. Zusammen bezeichnet man rationale und irrationale Zahlen als reelle Zahlen.